Leit á vefnum

14.7.2008Þessari spurningu er erfitt að svara meðal annars vegna þess að það er ekki fullljóst hvað orðin „eðlilegt“ og „óeðlilegt“ eiga að merkja nákvæmlega. Áður en við veltum því fyrir okkur hvort eitthvað geti verið eðlilegt án þess að eitthvað annað sé óeðlilegt er því við hæfi að íhuga aðeins merkingu orðanna. Í ein...

27.10.2008Við skulum byrja á að rifja upp hvað margliður og tvinntölur eru svo að allir viti hvað um er rætt. Tvinntala er tala á forminu a + ib, þar sem a og b eru venjulegar rauntölur, og i er fasti sem uppfyllir að i2 = -1. Allar venjulegar rauntölur eru líka tvinntölur, því ef a er rauntala þá má skrifa hana sem a + i*0...

1.2.2006Til þess að svara því geri ég ráð fyrir að lesandinn þekki hvað tvinntala (e. complex number) er, hvernig grunnaðgerðirnar samlagning, frádráttur, margföldun og deiling eru framkvæmdar á þeim, hvað samfellt fall (e. continuous function) er og að mengi tvinntalnanna myndi sléttu (e. plane) sem er táknuð með \(C\), ...

18.9.2007Til að svara þessari spurningu þurfum við fyrst að vita hvernig hringur er skilgreindur. Í svari Þorsteins Vilhjálmssonar við spurningunni Hvernig skilgreinir maður hring? segir svo:Hringur eða hringferill er mengi þeirra punkta í sléttu eða plani sem eru í tiltekinni fjarlægð frá gefnum punkti. Sá punktur nefnist...

30.9.2011Formlega er tvíliðustuðullinn $C(n,k)$ skilgreindur sem fjöldi $k$ staka hlutmengja í $n$ staka mengi. Óformlega þýðir þetta að $C(n,k)$ er fjöldi möguleika á að velja $k$ hluti úr safni af $n$ hlutum, þar sem ekki skiptir máli í hvaða röð þessir $k$ hlutir eru valdir. Ef til dæmis velja á $5$ einstaklinga úr $10$...

8.5.2008Mótsögn er í hnotskurn fullyrðing sem bæði játar og neitar því sama. Einföld framsetning gæti verið á þessa leið á táknmáli rökfræðinnar: p ∧ ¬ p (það er p og ekki-p) þar sem breytan p stendur fyrir hvaða staðhæfingu sem er. Ef breytan p stendur til dæmis fyrir staðhæfinguna „Ísland er eyja“ fæst: Íslan...

11.1.2006Orðið hringur í íslensku hefur margar merkingar en spyrjandi er trúlega á höttunum eftir merkingu þess í stærðfræði. Hún er sem hér segir:Hringur eða hringferill er mengi þeirra punkta í sléttu eða plani sem eru í tiltekinni fjarlægð frá gefnum punkti. Sá punktur nefnist miðja eða miðpunktur hringsins. Gefni pu...

14.11.2008Við höfum áður fjallað nokkuð um tölur á Vísindavefnum og bendum lesendum á að kynna sér sérstaklega svör við spurningunum Hvað eru náttúrlegar tölur? og Hvað eru heilar og ræðar tölur? Allt frá tímum Forngrikkja þekktu menn að þó ræðu tölurnar dugi til flestra verka, þá eru einnig til aðrar tölur. Í kringum 50...

6.11.2012Í þessu svari verður sýnt hvernig skilgreina má topphorn út frá öðrum hugtökum venjulegrar rúmfræði og sagt frá mikilvægustu reglunni sem tengist þeim. Gert er ráð fyrir að allir hlutir, sem rætt er um í svarinu, liggi í sama slétta fletinum. Hugsum okkur að við höfum beina línu sem er óendanleg í báðar áttir o...

6.9.2000Oft er erfitt að lifa sig inn í hugsunarhátt liðinna alda, ekki síst þegar heimildir eru götóttar eins og við á um forngrísku atómsinnana og hugmyndir sem kviknuðu kringum þá. En samkvæmt hugmyndum manna nú á dögum virðist mega skipta spurningunni um lágmarksstærð í tvennt: Er til lágmarksstærð í veruleikanum krin...

28.9.2011Áður en við skoðum sönnun spyrjanda á að $1 = -1$ skulum við skoða tvö hugtök sem koma fyrir í sönnuninni: Annars vegar kvaðratrót og hins vegar töluna $i$. Látum $a$ tákna jákvæða tölu. Kvaðratrótin af $a$ er táknuð með $\sqrt{a}$ og hún ákvarðast af eftirfarandi tveimur eiginleikum: $\sqrt{a}$ er jákvæð ta...

7.5.2000 Talan pí (π) er óræð tala eins og það er kallað í stærðfræði, en það merkir að hún verður ekki skrifuð sem brot þar sem heilli tölu er deilt í aðra heila tölu. Þegar pí er skrifað sem tugabrot verða aukastafirnir óendanlega margir. Margir tengja pí sjálfsagt við brotið 22/7 en það er ekki "sama sem" pí í...

13.11.2008Við höfum áður fjallað um náttúrlegar tölur í svari við spurningunni Hvað eru náttúrlegar tölur?. Þær eru ágætar til síns brúks en duga skammt einar og sér. Þess vegna þurfum við meðal annars á heilum og ræðum tölum að halda. Ef við ætlum til dæmis að stunda viðskipti að einhverju ráði, þá verður fljótt þægileg...

22.8.2011Kurt Gödel hefur verið kallaður mesti rökfræðingur síðan á dögum Aristótelesar. Gödel-setningin svonefnda, sem hann sannaði á tuttugasta og fimmta aldursári, er ein frægasta niðurstaða stærðfræðinnar: Hún er þekkt langt út fyrir raðir stærðfræðinga, og það er sárasjaldgæft. Hún er kannski líka sú stærðfræðiniðurst...

24.7.2000Þessa spurningu mætti skilja á tvo vegu, eftir því hvort áherslan er á "svör" eða á "öllu". Í fyrra tilfellinu er vandinn: "Hvað er svar?", en í því seinna er hann: "Ef við vitum hvað 'allt' er, og við vitum hvað telst fullnægjandi 'svar' við því, er þá til svar við hverju atriði úr þessu "öllu"?". Fyrst skulum...